이 격자를 색칠하는 경우의 수: R로 배우는 조합론

문제2×2 사각형 격자의 각 칸을 빨강, 파랑, 초록, 노랑 중 하나의 색으로 칠해야 합니다. 인접한 두 칸(한 변을 공유하는 칸)은 같은 색이 될 수 없습니다. 이러한 조건을 만족하며 격자를 칠할 수 있는 유효한 색칠 방법은 몇 가지입니까?분석 및 해결가장 간단하게는 수학적으로 직접 세어 보는 방법이 있습니다. 2×2 격자를 다음과 같이 칸을 표시하면:a b c d1. a에 대해 4가지 색을 고를 수 있습니다.2. b는 a와 달라야 하므로 3가지 선택이 가능합니다.3. c는 a와 달라야 하므로 3가지 선택이 가능합니다.4. d는 b와 c와 달라야 합니다. • 만약 b = c라면, d는 남은 3가지 색 중 하나를 고를 수 있습니다. • b ≠ c라면, d는 두 색을 제외한 나머지 2가지 색 중 하나를 고를 수 있습니다.b = c인 경우: 3가지 색을 골라 b와 c를 같은 색으로 지정합니다. 그 색과 다른 3가지 색 중에서 d를 고를 수 있으므로, 3×3 = 9가지 방법이 존재합니다.b ≠ c인 경우: 3가지 색 중에서 b를 골라 3가지 옵션을 갖습니다.남은 2가지 색 중에서 c를 골라 2가지 옵션을 갖습니다.따라서 3×2 = 6가지 경우가 존재하며, 각 경우마다 d는 2가지 색을 선택할 수 있으므로 6×2 = 12가지 방법이 존재합니다.각 a의 경우마다 총 9 + 12 = 21가지 방법이 있으므로, a를 선택하는 4가지 경우를 곱하면 최종적으로 4 × 21 = 84가지 색칠 방법이 존재합니다.R로 계산하기다음은 R을 사용해 모든 색칠 조합을 생성하고 조건을 검사한 예시입니다.colors <- c("red", "blue", "green", "yellow") grid <- expand.grid(a = colors, b = colors, c = colors, d = colors) valid <- with(grid