2D 성장 모델에 무작위 수송 링크 추가

경제 성장과 운송 기반시설의 효과: Capasso et al 모델을 이용한 연구 모델 개요 이 게시물은 노동력이 자유롭게 이동할 수 있는 지역에서의 경제 성장을 다룹니다. 한 동료가 최근 Capasso, Engbers, 그리고 La Torre가 발표한 논문을 보여 주었는데, 이는 Solow 성장 모델에 공간적 요소를 추가한 확장 모델을 설명합니다. 제 생각에는 모델을 다양한 방식으로 확장할 수 있을 것 같았습니다. 가장 흥미로운 점은 논문이 자본과 노동이 1차원 잠재 공간에서 움직이는 예시만 제공했으나, 공간이 2차원이라면 더 흥미로울 것이라고 생각했습니다. Edwin Chancellor의 책 The Price of Time은 낮은 금리의 의도치 않은 부정적 결과를 많이 다룹니다. 그 중 하나가 인프라 프로젝트에 투자가 집중돼 실제로 “아무 곳도 가지 않는” 프로젝트가 발생하는 현상입니다. 예를 들어 19세기 미국의 철도나 2010년대 중국의 철도 건설을 떠올려 볼 수 있습니다. 저는 Capasso et al 모델을 이용해 무작위로 운송 인프라를 건설했을 때의 영향을 연구하기로 했습니다. 기본 아이디어는 국가의 발전이 자본과 노동이 같은 위치에 모이려는 과정으로 모델링되면, 인프라는 아마도 성장을 가속화할 것이라는 것입니다. 하지만 얼마나 가속화될까요? 정성적 추정값을 얻고자 합니다. 모델 설정 모델은 도메인 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$에서 진행됩니다. 각 지점 $x \in \Omega$와 각 시간 $t$에 자본량 $K(x,t)$와 노동량 $L(x,t)$가 존재합니다. 생산함수 $F$는 노동과 자본에서 더 많은 자본을 생산하는 방식을 설명합니다. $F$는 모든 지점에서 동일하다고 가정합니다. 다시 말해, $\Omega$의 모든 지점에 같은 산업이 존재합니다. \[\frac{\partial K}{\partial t}(x,t) = e\nabla^2 K(x,t) -\delta K(x,t) + Y(x,t)\] where \(Y(x,t) = F(K(x,t), L(x,t))\) is output. 여기서 $e$는 외생적 확산 계수이고, $\delta$는 외생적 감가상각률입니다. 이는 열 방정식의 일종입니다. $F = 0$이면 자본은 도메인 $\Omega$ 전체를 통해 천천히 확산되어 $K$의 값이 모두 동일해집니다. 자본의 움직임 자본은 공간과 시간에 따라 다음과 같이 변화합니다. \[\frac{\partial K}{\partial t}(x,t) = e\nabla^2 K(x,t) -\delta K(x,t) + Y(x,t)\] 노동의 움직임 Capasso et al 모델에서는 노동도 자본과 동일한 방식으로 확산됩니다. 하지만 노동이 가장 높은 임금을 주는 방향으로 이동한다고 가정해 봅시다. 노동이 한계생산물 $w(x,t) = \frac{\partial F}{\partial L}$을 받으며, $w$가 증가하는 방향으로 이동한다고 하면 다음과 같은 형태가 됩니다. \[\frac{\partial L}{\partial t}(x,t) = m\nabla \cdot (L(x,t)\nabla w(x,t)) + gL(x,t)\] $m$은 확산계수, $g$는 외생적 성장률입니다. 즉, 노동력의 일부가 가장 높은 임금이 있는 방향으로 이동합니다. 시뮬레이션 방법 이제 시간과 공간이 연속적이라고 가정하지 말고 실제로 코드를 작성한 과정을 설명합니다. 시간은 이산 단계 \(t=0,1,2,\dots\)로 진행하고, 도메인 $\Omega$는 그래프입니다. 각 시간 단계 \(t\)에서 모델은 다음과 같이 진화합니다: 각 정점 \(x\)에서 자본 \(K(x)\)의 비율 \(e\)가 인접한 정점에 균등하게 분배됩니다. 각 정점 \(x\)에서 노동 \(L(x)\)의 비율 \(m\)이 가장 높은 임금을 주는 정점으로 이동합니다. 동일한 최고 임금을 받는 정점이 있으면 균등하게 분배됩니다. 각 정점 \(x\)에서 \(K(x)\)는 생산량에서 감가상각을 뺀 만큼 증가하고, \(L(x)\)는 \((1+g)\)배로 증가합니다. 그리드에서 모델을 실행하고 자본과 노동을 균일분포에서 시작하면 “도시”처럼 자본과 노동이 모여서 일정한 생산성이 높은 영역